如图所示，l₁，l₂是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段，点A、B在L1上点C在l₂上，AM＝MB＝MN．
（1）证明AC⊥NB；
（2）若∠ACB＝60^°，求NB与平面ABC所成角的余弦值．

正确答案： (1)证:
∵L1⊥L2
∴CN⊥AB
∵MN是L1,L2公垂线
∴CN⊥MN
∴CN垂直于平面ABN
又BN平面ABN
∴CN⊥BN
∵MA=MBM
∴ABN是Rt△,且BN⊥AN
由于BN⊥AN,BN⊥CN
所以BN⊥平面CAN
又AC平面CAN
∴BN⊥AC,即AC⊥BN
(2)解:在R₁△ABN中,
∵MA=MB,MN⊥AB
∴NA=NB
从而CA=CB(射影相等则斜线相等)
又
∠ACB=60°
∴△ABC是正三角形
连接CM,过N作NH⊥MC于H,连接BH
AB⊥MN,AB⊥CM
∴AB⊥平面CMN
∴AB⊥NH
∴NH⊥平面AB
∴∠NBH是BN和平面ABC所成的角.
设MA=MB=MN=1
则

在Rt△CMN中

MN=1

在Rt△MHN中

在Rt△NHB中
∠NHB=90°

∴
即NB与平面ABC所成角的余弦值为.

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